Ce support de cours a été créé par Claude Grasland et Nadège Gbetototon Djossou pour l’école d’été CIST 2023. Il a été ici légèrement modifié et adapté par C. Grasland et M.Madelin pour l’école d’été GEOUNIV’R 2024 de Tunisie.
DJOSSOU Gbetoton Nadège, GRASLAND Claude, 2023, «MOD1 : Modélisation d’une variable quantitative », in. EECIST 2022-2023, Méthodes et outils des sciences territoriales : une perspective Nord-Sud, Sud-Nord et Sud-Sud,https://ee2023.netlify.app/modules/mod1_quanti
Objectif
On se propose dans ce TD de modéliser la relation entre PIB par habiatnt (X) et émission de CO2 des pays africains (Y) en 2018.
Contrairement à la corrélation linéaire qui fait jouer un rôle symétrique au variables X et Y (\(r_{XY} = r_{YX}\)), la régression linéaire va introduire une dissymétrie en donnant à chacune des variables X et Y un rôle différent et en introduisant une hypothèse de causalité ou de dépendance :
la variable Y est la variable dépendante, c’est-à-dire celle que l’on veut expliquer ou prédire.
la variable X est la variable indépendante, c’est-à-dire la variable explicative ou du moins celle qui permet de prédire les valeurs de Y.
Dans notre exemple, il semble logique de considérer que les émissions de CO2 par habitant (Y) sont une conséquences du développement économique mesuré à l’aide du PIB par habitant (X). Nous cherchons donc un modèle de la forme \(Y = f(X)\) dans lequel la fonction \(f\) peut prendre différentes formes.
Nous commencerons par le cas le plus simple d’une relation linéaire prenant la forme \(Y = a.X+b\) On commencera donc par utiliser un modèle de régression linéaire simple en soulignant les multiples violation des hypothèses qu’il entraîne. Puis on proposera deux solutions alternatives, l’une en retirant les valeurs exceptionnelles, l’autre en transformant les variables X et Y de façon logarithmique.
On utilise un tableau de données extrait du Human Development Report 2020. Ce tableau a déjà été utilisé dans le cours de statistique multivariée auquel on pourra se reporter pour plus de détail
On décide de garder les deux variables et de les renommer X et Y conformément à nos hypothèses.
X : PIB en $/habitant
Y : CO2 en tonnes/habitant
On procède donc à l’extraction de ces variables en y ajoutant le nom et le code iso des pays africains. On élimine les pays ayant des valeurs manquantes pour X ou Y à l’aide de l’instruction na.omit()
# Création des variables X et Xdon$X<-don$PIBdon$Y<-don$CO2HAB# Sélection des colonnestab<-don[,c("iso3","name","X","Y")]# Elimination des lignes comportant des valeurs manquantestab<-na.omit(tab)
1.3 Astuce : stockage des textes d’habillage
On prépare un ensemble de textes que l’on pourra utiliser pour l’habillage de nos graphiques. Cela évitera de devoir ensuite les retaper à chaque fois.
On décide ici que les textes seront en français :
nomX <-"PIB ($/hab)"nomY <-"Pollution (t. de CO2/hab)."titre <-"Les pays Africains en 2018"note <-"Source : Rapport sur le développement humain 2020"
Mais vous pouvez par la suite changer les valeurs pour obtenir des graphiques en arabe. Ce qui devrait ressembler à ceci selon le traducteur deepl (???) :
nomX <-"الناتج المحلي الإجمالي (بالدولار/الفرد)"nomY <-"التلوث (بالأطنان من ثاني أكسيد الكربون/الفرد)"titre <-" البلدان الأفريقية في عام 2018"note <-" المصدر: تقرير التنمية البشرية 2020"
2. ANALYSE DES VARIABLES X et Y
2.1 La distribution de X
Calculer les paramètres principaux et commentez les
summary(tab$X)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
756.6 2014.9 3289.4 5168.8 6437.0 19458.9
Commentaire : Le PIB en $/habitant des pays africians varie entre 756 et 19459. Il est en moyenne de 5169. La moitié des pays ont un taux compris entre Q1 (2015) et Q3 (6437)
Commentaire : La distribution semble unimodale mais fortement asymétrique à gauche.
Tester la normalité
Pour savoir si une distribution est gaussienne (normale) on peut utiliser un test statistique (test de Shapiro-Wilks) à l’aide de la fonction shapiro.test() et tracer un graphique d’écart à la loi gaussienne à l’aide des fonctions qqnorm() et qqline() :
Qu’est-ce qu’un qqplot ?
En statistiques, un Q-Q (quantile-quantile) plot est une méthode graphique pour comparer deux distributions de probabilité en affichant leur quantiles contre quantiles. Un point (x,y) du graphique représente un quantile de la seconde distribution (axe y) contre le même quantile de la première distribution (axe x). Ainsi la droite est une courbe paramétrique dont le paramètre est le nombre d’intervalle des quantiles.
Interprétation d’un qqplot
Normal qqplot: La distribution normale est symétrique, donc aucun biais (skew) et la moyenne est égale à la médiane.
Right skewed qqplot : Right-skew aussi appelé positive skew signifie que la distribution comporte des valeurs exceptionnelles à droite et que la moyenne est supérieure à la médiane.
Left skewed qqplot: Left-skew aussi appelé negative skew signifie que la distribution comporte des valeurs exceptionnelles à gauche et que la moyenne est inférieure à la médiane
Light tailed qqplot: Cela veut dire que comparé à la distribution normale il y a un peu plus de données dans les extrémités que dans le centre de la distribution.
Heavy tailed qqplot: Cela veut dire que comparé à la distribution normale il y a un beaucoup plus de données dans les extrémités que dans le centre de la distribution.
Biomodel qqplot: illustre une distribution bimodale comportant deux zones de concentration avec donc deux pics sur l’histogramme.
Commentaire : La boxplot montre la présence d’au moins quatre valeurs exceptionnelles situées à plus de 1.5 fois (Q3-Q1) au dessus de Q3. On peut les identifier et les afficher dans un tableau.
iso3 name X Y
5 BWA Botswana 17700.32 2.957364
16 GAB Gabon 14806.59 2.528365
21 GNQ Eq. Guinea 19458.92 4.344926
24 LBY Libya 15096.08 8.087927
On retrouve sans suprise dans la liste des pays à richesse exceptionnelle trois pays producteurs de pétrole (Gabon, Guinée équatoriale, Libye) et un pays ayant des mines de diamants (Bostwana).
2.2 La distribution de Y
Calculer les paramètres principaux
summary(tab$Y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02423 0.18254 0.39648 1.14048 1.10447 8.09036
Commentaire : En 2018 les émissions de CO2 des pays d’Afrique varient entre 0.02 t/hab. et 8.1 t./hab. La moyenne est de 1.14 t.hab. La moitié des pays se situent entre 0.18 t./hab (Q1) et 1.10 t./hab (Q3). L’écart entre la moyenne et la médiane suggère une distribution dissymétrique à gauche. Ce que l’on va vérifier avec l’histogramme.
Commentaire : La distribution de Y est unimodale mais très fortement dissymétrique à gauche. Beaucoup plus que dans le cas de la variable X analysée précédemment.
Tester la normalité
# Graphique qqnorm(tab$Y)qqline(tab$Y, col ="red")
# testshapiro.test(tab$Y)
Shapiro-Wilk normality test
data: tab$Y
W = 0.6079, p-value = 7.414e-10
Commentaire : Le graphique montre que la distribution ne suit absolument pas une loi gaussienne, ce qui est confirmé par le test de Shapiro-Wilks (p < 0.001). Le graphique nous indique que la distribution comporte des valeurs exceptionnelles à droite ce qui la rend non-gaussienne.
Commentaire : La boxplot montre la présence de plusieurs valeurs exceptionnelles situées à plus de 1.5*(Q3-Q1) de Q3. On peut les identifier en utilisant le même programme que pour Y.
Commentaire : : La relation est clairement positive ce quisignifie que plus le PIB/habitant augmente, plus les émissions de CO2 par habitant augmente. Plus un pays est riche, plus il pollue ! Il n’est toutefois pas évident que la relation soit linéaire car deux pays (Afrique du Sud et Libye) s’écartent clairement de la tendance générale et suggèrent une relation de croissance non linéaire type puissance ou exponentielle.
3.2 Tester la significativité de la relation entre X et Y
Coefficient de Pearson
cor.test(tab$X,tab$Y)
Pearson's product-moment correlation
data: tab$X and tab$Y
t = 8.9738, df = 44, p-value = 1.688e-11
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.6703491 0.8873157
sample estimates:
cor
0.8041573
cor(tab$X,tab$Y)**2
[1] 0.6466689
Commentaire : Selon le test du coefficient de Pearson, la relation est très significative (p < 0.001) et le pouvoir explicatif de X par rapport à Y mesuré par la coefficient de détermination (\(r_{XY}^2\)) sera élevé (65%).
Coefficien de Spearman
cor.test(tab$X,tab$Y, method ="spearman")
Spearman's rank correlation rho
data: tab$X and tab$Y
S = 1654, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.8979957
Commentaire : Le coefficient de corrélation de Spearman (+0.90) est sensiblement plus élevée que celui de Pearson (+0.80). Ceci constitue un signal d’alerte et suggère (i) soit la présence de valeurs exceptionnelles, (ii) soit l’existenced’une relation non linéaire.
4. REGRESSION LINEAIRE
4.1 Calculer l’équation de la droite Y = aX+B
modreglin <-lm(tab$Y~tab$X)summary(modreglin)
Call:
lm(formula = tab$Y ~ tab$X)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.9949 -0.5007 -0.0551 0.1633 4.7028
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.4317539 0.2375862 -1.817 0.076 .
tab$X 0.0003042 0.0000339 8.974 1.69e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.088 on 44 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6467, Adjusted R-squared: 0.6386
F-statistic: 80.53 on 1 and 44 DF, p-value: 1.688e-11
Commentaire : L’équation de la droite est donc **Y = 0.0003*X - 0.432**. Le coefficient de pente de la droite indique que les émissions de CO2 augmentent de 0.0003 tonnes chaque fois que le PIB par habitant augmente de 1 dollar. Ou si l’on préfère, queles émissions de CO2 augmentent de 0.3 tonnes chaque fois que le PIB/hab. augmente de 1000 dollars. La constante (Intercept) indique la valeur qui correspondrait à un pays totalement pauvre et elle serait négative ce qui est évidemment absurde. Le modèle linéaire peut aboutir à des absurdités …
Commentaire: La droite s’ajuste plus ou moins au nuage de points mais on remarque que les résidus sont mal répartis autour de celle-ci (autocorrélation) et que les points s’éloignent de plus en plus de la droite au fur et à mesure que X augmente ce qui signifie que la variance n’est pas constante (hétéroscédasticité). Même s’il semble avoir un fort pouvoir explicatif, le modèle semble donc souffrir de défauts importants que l’on discutera dans la partie finale.
4.3 Calculer les valeurs estimées et les résidus
# Extraction des valeurs estimées et résiduellestab$Yest <- modreglin$fitted.valuestab$Yres <- modreglin$residuals# Affichage du tableau triétab[order(tab$Yres),]
Commentaire : Le tableau permet de repérer les pays qui s’éloignent le plus de la droite en raison d’une surestimation ou d’une sous-estimation de leurs émissions de CO2 par le PIB. Les résidus négatifs correspondent à des pays qui émettent moins de CO2 par habitant que ce que laisserait prévoir leur PIB par habitant. C’est par exemple le cas du Bostwana dont le PIB élevé (17700 $/hab.) laissait prévoir 4.95 t/hab. de CO2 par habitant mais qui en pratique n’en émet que 2.96 soit un résidu de -2 tonnes. Inversement le PIB de l’Afrique du Sud (12256 $/hab) laissait prévoir 3.9 tonnes de CO2 par habitant alors que la valeur observée est de 8.1 tonnes par habitant, soit un résidu de +4.7 tonnes de plus que prévu. Dans les deux cas on peut chercher des explications ad hoc (e.g. importance de la production de charbon en Afrique du Sud) mais il faut aussi se demander si ces écarts ne nont pas justes liés à une mauvaise spécification de notre modèle …
4.4 Sauvegarder les résultats du modèle
On peut si on le souhaite sauvegarder les résultats au format .csv
Avant de tirer des conclusions hâtives sur les résidus, il est préférable de vérifier si les hypothèses fondamentales du modèle de régression ont bien été respectées. On va utiliser pour cela quatre graphiques de bases fournis par R et des tests présents dans le package car (acronyme de “Companion for Applied Regression”).
lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
1 0.04054838 1.91116 0.722
Alternative hypothesis: rho != 0
Commentaire : le graphique permet de voir que les résidus ne sont pas indépendants des valeurs estimées de Y, ce qui signifie que les points se situent en moyenne tantôt au dessus de la droite de régression, tantôt en dessous ce qui fausse leur estimation. Dans un modèle sans autocorrélation, la courbe rouge devrait suivre la ligne pointillé correspondant à une moyenne nulle des résidus, ce qui n’est visiblement pas le cas. On peut s’en assurer à l’aide du test de Durbin Watson qui pose l’hypothèse H0 : Il existe une autocorrélation des résidus. Cette hypothèse ne peut pas être rejetée (p > 0.66) donc il existe bien une autocorrélation des résidus qui va fausser les prévisions du modèle de régression linéaire.
Shapiro-Wilk normality test
data: tab$Yres
W = 0.68437, p-value = 1.163e-08
Commentaire : La normalité de la distribution des résidus est également une condition importante de validité du modèle de régression linéaire puisqu’elle permet de définir un intervalle de confiance des estimations en se servant de l’écart-type de ces résidus (e.g. + ou - 2 écarts-type pour un intervalle de confiance à 95%). Mais il est clair ici au vu du diagramme QQ plot que la condition de normalité des résidus n’est pas vérifiée, ce que confirme le test de Shapiro (p < 0.001)
Non-constant Variance Score Test
Variance formula: ~ fitted.values
Chisquare = 65.47898, Df = 1, p = 5.8737e-16
Commentaire : En liaison avec ce qui précède, l’analyse de l’homogénéité des résidus permet de vérifier si la variance des résidus est constante et donc si l’intervalle de confiance sera le même pour l’ensemble des valeurs estimées. Ici, ce n’est clairement pas le cas puisque le graphique montre un net accroissement de la variance des résidus lorsque la valeur à estimer augmente. On peut vérifier l’absence d’homogénéité (appelée hétéroscédasticité) en appliquant le test de Breush-Pagan qui examine l’hypothèse “H0 : la distribution des résidus est homogène”. Dans notre exemple H0 est rejetée (p < 0.001) ce qui signifie que l’hypothèse d’homogénéité est clairement rejetée.
5.4 Absence de valeurs exceptionnellement influentes
rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
South Africa 6.034761 3.2546e-07 1.4971e-05
Libya 4.657740 3.0790e-05 1.4164e-03
Commentaire : Le dernier test consiste à vérifier si la relation observée est bien le résultat d’un ensemble d’observations indépendantes et non pas l’effet de la présence d’une ou deux valeurs exceptionnelles. Plusieurs tests sont ici possibles qui visent au même objectif : déterminer à quel point le retrait d’une valeur unique modifie le résultat de l’analyse, c’est à dire le coefficient de détermination \(r_{XY}^2\) et les paramètres \(a\) et \(b\) de l’équation \(Y=aX+b\). Le graphique proposé par R utilise la distance de Cook pour mettre en valeur l’influence potentielle des valeurs exceptionnelles et on y retrouve sans surprise la Libye, l’Afrique du Sud et le Bostwana. On peut arriver à un résultat similaire en utilisant le test de Bonferroni qui signale le caractère exceptionellement influent de l’Afrique du Sud et de la Libye.
5.5 Tous les tests d’un coup
Une fois que l’on a bien compris les tests précédents, on peut afficher les quatre graphiques correspondant en une seule commande :
Sans reprendre en détail toutes les étapes de l’analyse, proposez deux variantes du modèle initial, l’une en retirant les valeurs exceptionnelles, l’autre en transformant les variables X et Y à l’aide d’une fonction préalablement à leur mise en relation.
6.1 Modèle linéaire sans valeurs exceptionnelles.
On décide de retirer les trois valeurs exceptionellement influentes qui ont été repérées dans la première analyse et de refaire une régression linéaire.
Tableau sans valeurs exceptionnelles
tab2<-tab[!(tab$iso3 %in%c("ZAF","BWA","LBY")),]
Corrélation
cor.test(tab2$X,tab2$Y, method="pearson")
Pearson's product-moment correlation
data: tab2$X and tab2$Y
t = 16.456, df = 41, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.8770905 0.9627927
sample estimates:
cor
0.9319357
cor.test(tab2$X,tab2$Y, method="spearman")
Spearman's rank correlation rho
data: tab2$X and tab2$Y
S = 1614, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.8781335
Régression
modreglin2 <-lm(tab2$Y~tab2$X)summary(modreglin2)
Call:
lm(formula = tab2$Y ~ tab2$X)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.67137 -0.21168 -0.02265 0.12596 1.33042
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -2.452e-01 8.348e-02 -2.937 0.00542 **
tab2$X 2.280e-04 1.385e-05 16.456 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.3666 on 41 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8685, Adjusted R-squared: 0.8653
F-statistic: 270.8 on 1 and 41 DF, p-value: < 2.2e-16
# Extraction des valeurs estimées et résiduellestab2$Yest <- modreglin2$fitted.valuestab2$Yres <- modreglin2$residuals
lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
1 0.05326152 1.856255 0.636
Alternative hypothesis: rho != 0
shapiro.test(tab2$Yres)
Shapiro-Wilk normality test
data: tab2$Yres
W = 0.91406, p-value = 0.003438
ncvTest(modreglin2)
Non-constant Variance Score Test
Variance formula: ~ fitted.values
Chisquare = 14.98559, Df = 1, p = 0.00010834
outlierTest(modreglin2,labels = tab2$name)
rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
Algeria 4.679998 3.263e-05 0.0014031
Commentaire : Le nouveau modèle affiche une corrélation beaucoup plus élevée (\(r_{XY} = + 0.96\)) et une bien meilleure qualité d’ajustement (\(r_{XY}^2 = 86.5%\)). Il demeure une forte autocorrélation des résidus (p >0.60) mais les résidus sont à peu près gaussiens (p >0.05). L’hétéroscédasticité demeure élévée (p < 0.001) et on trouve une nouvelle valeur exceptionellement influente (Algérie). Il y a donc d’indéniables progrès mais le modèle n’est pas encore tout à fait satisfaisant.
6.2 Modèles non linéaires
Il est toujours ennuyeux de retirer des valeurs exceptionnelles car on risque d’en trouver des nouvelles et c’est un processus sans fin. Il s’agit en outre d’une démarche criticable si on effectue le retrait des valeurs sans raisons objectives. Il est donc préférable d’essayer de garder toutes les valeurs mais de chercher à transformer les variables X et Y pour construire des fonctions différentes. On utilise classiquement quatre modèles (linéaire, exponentiel, logarithmique, puissance) selon que l’on applique ou non des transformations linéaires à X et Y.
Examen visuel des quatre modèles
par(mfrow=c(2,2))plot(tab$X,tab$Y, main ="Linéaire : Y=a.X+b", pch=20, col="red",cex=0.5)plot(tab$X,log(tab$Y), main ="Exponentiel : log(Y)=a.X+b", pch=20, col="red",cex=0.5)plot(log(tab$X),tab$Y, main ="Logarithmique : Y = a.log(X)+b", pch=20, col="red",cex=0.5)plot(log(tab$X),log(tab$Y), main ="Puissance : log(Y) = a.log(X)+b", pch=20, col="red",cex=0.5)
Commentaire : Un simple examen visuel laisse présager que le modèle puissance est celui qui s’ajustera le mieux à une droite et offrira une répartition régulière des résidus conforme aux hypothèses.
Commentaire : Le calcul des coefficients de corrélation confirme que cette solution donne le meilleur ajustement aux données. Noter bien que ce critère ne suffit pas à lui seul à choisir un modèle. Un modèle qui aurait un meilleur ajustement mais violerait leshypothèses ne devrait pas être retenu face à un modèle ayant un ajustement plus faible mais des résidus mieux distribués.
Préparation des données
On crée un nouveau tableau de données
don$X<-log(don$PIB)don$Y<-log(don$CO2)tab3<-don[,c("iso3","name","X","Y")]tab3<-tab3[complete.cases(tab3), ]nomXlog <-"log(PIB en $/hab)"nomYlog <-"log(CO2 en t./hab)"titre <-"Les pays Africains en 2018"note <-"Source : Rapport sur le développement humain 2020"
Régression
modregpuis <-lm(tab3$Y~tab3$X)summary(modregpuis)
Call:
lm(formula = tab3$Y ~ tab3$X)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.21875 -0.34992 -0.09064 0.27574 1.38323
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -12.69651 0.80784 -15.72 <2e-16 ***
tab3$X 1.45733 0.09822 14.84 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.5672 on 44 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8334, Adjusted R-squared: 0.8296
F-statistic: 220.2 on 1 and 44 DF, p-value: < 2.2e-16
# Extraction des valeurs estimées et résiduellestab3$Yest <- modregpuis$fitted.valuestab3$Yres <- modregpuis$residuals
lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
1 0.03349644 1.87894 0.728
Alternative hypothesis: rho != 0
shapiro.test(tab3$Yres)
Shapiro-Wilk normality test
data: tab3$Yres
W = 0.95564, p-value = 0.07752
ncvTest(modregpuis)
Non-constant Variance Score Test
Variance formula: ~ fitted.values
Chisquare = 1.248169, Df = 1, p = 0.2639
outlierTest(modregpuis,labels = tab3$name)
No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
Largest |rstudent|:
rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
Lesotho 2.628744 0.011838 0.54453
Commentaires : Outre sa qualité d’ajustement élevée (r2 = 83%), le modèle final respecte beaucoup mieux les hypothèses théoriques d’un modèle de régression linéaire. Il demeure certes une légère autocorrélation des résidus et une disribution qui n’est pas tout àfait gaussienne. Mais les résidus sont désormais homogènes (p >0.26) et aucune valeur influente n’est plus détectée par le test de Bonferoni. Bref, le modèle est acceptable.
Représenter la forme finale du modèle Y = f(X)
Le modèle ayant été ajusté sous forme bi-logarithmique, il faut en rétablir l’équation sous la forme Y = f(X), ce qui suppose de transformer l’équation de la façon suivante :
\(log(Y) = a\times {log(X)}+b <=> Y = e^{b} \times X^{a}\)
x<-seq(0,20000,100)y<-0.000003*(x**1.47)plot(x,y,type="l",col="red",lwd =2,xlab ="PIB en $/hab.",ylab ="Estimation du CO2 en t./hab",main ="Modèle final") grid()
Commentaire : Notre modèle final offre une représentation assez fiable de la relation qui existe entre le PIB par habitant et les émissions de CO2 des pays africains en 2018. La forme de la relation est de type puissance avec un exposant de 1.41 > 1 ce qui indique que l’accroissement des émissions n’est pas linéaire mais de plus en plus rapide lorsque le développement augmente. Un pays dont le revenu est de 5000 $/hab. émettra moins de 1 tonne de CO2 par habitant alors qu’un pays dont le revenu est de 10 000 $/hab émettra plus de 2 tonnes et un pays dont le revenu est de 20 000 $ par habitant plus de 6 tonnes !
